CCP endomorphismes antisymétriques

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CCP endomorphismes antisymétriques

Message  camilleguerin le Ven 30 Juin 2017 - 8:18


camilleguerin

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Re: CCP endomorphismes antisymétriques

Message  jp.becirspahic le Ven 30 Juin 2017 - 9:05

Pour la question 3 du premier exercice, on peut par exemple montrer que «rg(u) est pair» reste vrai quand on enlève l'hypothèse de bijectivité à la question 2b.

Une autre question classique est de montrer que le déterminant d'une matrice réelle antisymétrique est toujours positif ou nul.

jp.becirspahic

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Re: CCP endomorphismes antisymétriques

Message  Thomas.Diaconu le Ven 30 Juin 2017 - 12:45

Comment peut on facilement justifier le rang de A (question 1)C)

Thomas.Diaconu

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Re: CCP endomorphismes antisymétriques

Message  jp.becirspahic le Ven 30 Juin 2017 - 12:49

Par opérations élémentaires se ramener à une matrice dont la première colonne est nulle et les deux autres clairement linéairement indépendantes.

jp.becirspahic

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Re: CCP endomorphismes antisymétriques

Message  Thomas.Diaconu le Ven 30 Juin 2017 - 12:52

D'accord merci. Mais est ce que dire que la matrice est non inversible (determinant nul) avec des colonnes et lignes linéairement indépendantes suffisait pour affirmer que le rang vaut 2 ?

Thomas.Diaconu

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Re: CCP endomorphismes antisymétriques

Message  jp.becirspahic le Ven 30 Juin 2017 - 12:54

Oui bien sur, puisque si det A=0 alors rg A <= 2, et il suffit alors de constater que les deux premières colonnes sont linéairement indépendantes pour en déduire que rg A >= 2 et conclure.

jp.becirspahic

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Re: CCP endomorphismes antisymétriques

Message  Thomas.Diaconu le Ven 30 Juin 2017 - 12:56

Merci beaucoup !

Thomas.Diaconu

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Re: CCP endomorphismes antisymétriques

Message  camilleguerin le Sam 1 Juil 2017 - 19:53

Il me semble que la 3ème question consistait en effet à montrer que l'image et le noyau d'un endomorphisme antisymétrique sont supplémentaires orthogonaux, et ensuite que son rang est toujours pair

camilleguerin

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